Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

231. **Доказательство:** 1. По условию $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведённая к стороне $BC$. Значит, точка $M$ делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC = \frac{1}{2}BC$. 2. Также по условию $AM = \frac{1}{2}BC$. Следовательно, $AM = BM = MC$. 3. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $AM = BM$, треугольник $ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAM = \angle ABM = \alpha$. 4. Рассмотрим треугольник $ACM$. Так как $AM = MC$, треугольник $ACM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MAC = \angle ACM = \beta$. 5. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^{\circ}$: $$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$$ $$\alpha + (\alpha + \beta) + \beta = 180^{\circ}$$ $$2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$$ $$2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$$ $$\alpha + \beta = 90^{\circ}$$ 6. Так как $\angle BAC = \alpha + \beta$, то $\angle BAC = 90^{\circ}$. **Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным.**