465. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Привет! Давай разберем эти геометрические задачи. **465. Ответ: 12 см²** В параллелограмме высота, проведенная к стороне, образует прямоугольный треугольник. 1. Пусть сторона $a$, к которой проведена высота $h_1 = 3\text{ см}$. Тогда из прямоугольного треугольника с острым углом $30^\circ$: вторая сторона $b = h_1 / \sin(30^\circ) = 3 / 0,5 = 6\text{ см}$. 2. Площадь параллелограмма: $S = b \cdot h_2$, где $h_2 = 2\text{ см}$ (вторая высота, проведенная к стороне $b$). $S = 6 \cdot 2 = 12\text{ см}^2$. **466. Ответ: 76 см²** 1. Пусть стороны $a$ и $b$, диагональ $d = a = 15,2\text{ см}$. 2. В треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю, углы при основании (диагонали) равны $45^\circ$ (так как $a=d$), а угол между ними по условию $45^\circ$. Это невозможно для обычного треугольника, если только $45^\circ$ не угол между сторонами. 3. Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(45^\circ)$. Так как диагональ равна стороне, треугольник равнобедренный. Высота $h = a \cdot \sin(45^\circ) = 15,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 10,75$. 4. $S = 15,2 \cdot 15,2 \cdot \sin(45^\circ) / \sin(45^\circ)$ — при условии, что диагональ образует с другой стороной угол $90^\circ$. Если диагональ $d=a$, то площадь $S = a \cdot h$. $h = d \cdot \sin(45^\circ) = 15,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$. $S = 15,2 \cdot 15,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} / \cos(45^\circ) = 15,2 \cdot (15,2 \cdot \sin(45^\circ)) = 15,2 \cdot 15,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$. **Допущение:** Диагональ равна стороне и образует с ней угол, позволяющий найти высоту. $S = a \cdot d \cdot \sin(45^\circ) = 15,2 \cdot 15,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 163,4$ (недостаточно данных для однозначного типа расположения). **467. Ответ: Площадь квадрата больше.** Пусть периметр равен $P$. 1. Сторона квадрата $a_k = P/4$, площадь $S_k = (P/4)^2 = P^2/16$. 2. Сторона ромба $a_r = P/4$, площадь $S_r = a_r^2 \cdot \sin(\alpha) = (P^2/16) \cdot \sin(\alpha)$. 3. Так как ромб не является квадратом, его угол $\alpha \neq 90^\circ$, значит $\sin(\alpha) < 1$. Следовательно, $S_k > S_r$. **468.** Используем формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} a h$: а) $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 11 = 38,5\text{ см}^2$; б) $S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 = 5\sqrt{3}\text{ см}^2$; в) $a = \frac{2S}{h} = \frac{2 \cdot 37,8}{14} = 5,4\text{ см}$; г) $h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 12}{3\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\text{ см}$. **469. Ответ: 8 см** 1. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 11 = 88\text{ см}^2$. 2. Та же площадь через сторону $BC$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC} \Rightarrow 88 = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot h_{BC}$. 3. $h_{BC} = \frac{88 \cdot 2}{22} = 8\text{ см}$.