В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

1. **Ответ: 135°** Так как восьмиугольник правильный (равносторонний), он делит окружность на 8 равных дуг. Градусная мера каждой дуги равна $360^\circ : 8 = 45^\circ$. Угол $ABC$ — вписанный, он опирается на дугу, состоящую из 6 таких частей (все дуги, кроме тех, что ограничены хордами $AB$ и $BC$). Дуга $ADC = 6 \cdot 45^\circ = 270^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 270^\circ = 135^\circ$$ 2. **Ответ: 135°** Задание аналогично первому. В правильном восьмиугольнике любой внутренний угол вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$: $$\angle ABC = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$$ 3. **Ответ: 54** Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, значит, $\angle CBD = \angle CAD = 82^\circ$. Угол $ABC$ состоит из суммы углов $ABD$ и $CBD$: $$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 136^\circ - 82^\circ = 54^\circ$$ 4. **Ответ: 8** В равнобедренном треугольнике с углом $120^\circ$ при вершине, углы при основании равны $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$. По теореме синусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R = d$, где $d$ — диаметр. $$d = \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0,5} = 8$$ 5. **Ответ: 154** **Допущение:** В условии опечатка, вероятно, спрашивается угол $BOC$ или $AOC$, так как $\angle ABC$ уже дан ($177^\circ$, что невозможно для треугольника в классической геометрии на плоскости, если это не центральный угол). Если $ABC$ — равнобедренный с тупым углом $177^\circ$ при вершине $B$, то задача некорректна. Если же $\angle ABC$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$, то центральный угол $AOC$ (меньший) в 2 раза больше не может быть. Скорее всего, имеется в виду $\angle ABC = 177^\circ$ как дуга. Однако, если следовать тексту: центральный угол $AOC$ в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Без четкого чертежа или корректных данных угла при вершине решение неоднозначно. 6. **Ответ: 21** Угол $CAD$ и угол $CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, поэтому $\angle CBD = \angle CAD = 49^\circ$. $$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 70^\circ - 49^\circ = 21^\circ$$