18.8. а) 2 sin² x + 3 cos x = 0; б) 8 sin² 2x + cos 2x + 1 = 0; в) 5 cos² x + 6 sin x - 6 = 0; г) 4 sin 3x + cos² 3x = 4.

Для решения этих тригонометрических уравнений мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы свести их к квадратному уравнению относительно одной функции. **а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$** 1. Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $$2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$$ $$2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$$ $$2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$$ 2. Пусть $\cos x = t$, где $|t| \le 1$. Получаем: $2t^2 - 3t - 2 = 0$. 3. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. $$t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \text{ (не подходит, так как } |t| \le 1)$$ $$t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5$$ 4. Обратная замена: $\cos x = -0,5$. $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** --- **б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$** 1. Заменим $\sin^2 2x$ на $1 - \cos^2 2x$: $$8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$$ $$8 - 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$$ $$8 \cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0$$ 2. Пусть $\cos 2x = t$, $|t| \le 1$. Получаем: $8t^2 - t - 9 = 0$. 3. $D = 1 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$. $$t_1 = \frac{1 + 17}{16} = 1,125 \text{ (не подходит)}$$ $$t_2 = \frac{1 - 17}{16} = -1$$ 4. Обратная замена: $\cos 2x = -1$. $$2x = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$** --- **в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$** 1. Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $$5(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 6 = 0$$ $$5 - 5 \sin^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$$ $$5 \sin^2 x - 6 \sin x + 1 = 0$$ 2. Пусть $\sin x = t$, $|t| \le 1$. Получаем: $5t^2 - 6t + 1 = 0$. 3. По свойству коэффициентов ($5 - 6 + 1 = 0$): $t_1 = 1$, $t_2 = 0,2$. 4. Обратная замена: - $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ - $\sin x = 0,2 \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin 0,2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; (-1)^k \arcsin 0,2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$** --- **г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$** 1. Заменим $\cos^2 3x$ на $1 - \sin^2 3x$: $$4 \sin 3x + 1 - \sin^2 3x = 4$$ $$\sin^2 3x - 4 \sin 3x + 3 = 0$$ 2. Пусть $\sin 3x = t$, $|t| \le 1$. Получаем: $t^2 - 4t + 3 = 0$. 3. По свойству коэффициентов ($1 - 4 + 3 = 0$): $t_1 = 3 \text{ (не подходит)}$, $t_2 = 1$. 4. Обратная замена: $\sin 3x = 1$. $$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$**