Решите уравнение $\sin x \cos x + \cos^2 x - 1 = 0$

**Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$** Решение: 1. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Отсюда следует, что $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$. 2. Подставим это в исходное уравнение: $$\sin x \cos x - \sin^2 x = 0$$ 3. Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$\sin x (\cos x - \sin x) = 0$$ 4. Уравнение распадается на два случая: а) $\sin x = 0$ $$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) $\cos x - \sin x = 0$ Разделим обе части на $\cos x$ (так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно одновременно): $$1 - \text{tg } x = 0$$ $$\text{tg } x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ **Допущение:** В уравнении на изображении после первого слагаемого стоит знак «+». Если там опечатка и должен быть «-», логика решения останется прежней.