Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен √3.

**34. Ответ: 3** 1. Площадь основания (правильного треугольника) вычисляется по формуле: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$ 2. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S H$$ 3. Находим высоту $H$: $$\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot H$$ $$H = 3$$ --- **35. Ответ: 24** 1. Площадь основания (прямоугольника): $$S = 3 \cdot 4 = 12$$ 2. Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 6 = 24$$ --- **36. Ответ: 13** 1. Находим площадь основания $S$: $$200 = \frac{1}{3} S \cdot 12 \Rightarrow 200 = 4S \Rightarrow S = 50$$ 2. Так как пирамида правильная четырехугольная, основание — квадрат. Сторона квадрата $a = \sqrt{50}$. 3. Половина диагонали основания $d/2$: $$d = a\sqrt{2} = \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10$$ $$OC = \frac{d}{2} = 5$$ 4. Боковое ребро из прямоугольного треугольника $SOC$ по теореме Пифагора: $$SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ --- **37. Ответ: 4** 1. Точка $O$ — центр основания. В правильной пирамиде $SO$ — высота. 2. $OC$ — половина диагонали $AC$: $$OC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ 3. Из прямоугольного треугольника $SOC$ по теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$ --- **38. Ответ: 6,5** 1. В правильной четырехугольной пирамиде $ABCD$ — квадрат. $O$ — точка пересечения диагоналей. $BD = 8$, значит $OD = 4$. 2. Точки $K$ и $M$ — середины сторон $CD$ и $BC$. Отрезок $KM$ — средняя линия треугольника $BCD$. Значит $KM \parallel BD$ и $KM = \frac{1}{2} BD = 4$. 3. Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ и $AC$. Так как $ABCD$ квадрат, $AC \perp BD$. Расстояние от центра $O$ до прямой $KM$ равно $OL = \frac{1}{4} AC$ (так как $KM$ отсекает четверть диагонали). В квадрате диагонали равны: $AC = BD = 8$, значит $OL = 2$. 4. Угол между плоскостью $SMK$ и основанием — это $\angle SLO$ в прямоугольном треугольнике $SOL$ (где $SO \perp OL$). 5. $\operatorname{tg} \angle SLO = \frac{SO}{OL} = \frac{13}{2} = 6,5$$ --- **39. Ответ: 17** 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота $SO$ падает в центр основания. 2. Находим отрезок $OC$ (половина диагонали $AC$ или $BD$): $$OC = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ 3. Из прямоугольного треугольника $SOC$ по теореме Пифагора: $$SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$