15. Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 14. Найдите площадь этого треугольника. 16. Сторона равностороннего треугольника равна 6 корней из 3. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

15. **Ответ: 42** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 14 = 3 \cdot 14 = 42$$ 16. **Ответ: 12** Диаметр $d$ описанной окружности равен стороне $a$, деленной на $\sin 60^\circ$ (по теореме синусов) или $d = 2R$. Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. $$d = 2 \cdot \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 6 = 12$$ 17. **Ответ: 60** В равнобедренной трапеции ($AB=CD$) углы при основании равны, а также накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. 1) $\angle CAD = \angle BDA$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$. Но в равнобедренной трапеции диагонали образуют равные углы с основанием, значит $\angle CAD = \angle BDA$ и $\angle BDA = \angle BCA$. Однако проще заметить, что треугольник $ABD$ равен треугольнику $DCA$. 2) $\angle ADC = \angle BDC + \angle ADB$. В равнобедренной трапеции $\angle DAB = \angle ADC$. 3) По свойству углов: $\angle ABD = \angle ACD$. Рассмотрим $\triangle BCD$. Он равнобедренный ($BC$ не равно $CD$), но так как трапеция равнобедренная, углы $\angle BDA = \angle CAD = 14^\circ$. Угол $\angle ADC = 106^\circ + 14^\circ = 120^\circ$. Тогда $\angle DAB = 120^\circ$. Из $\triangle ABD$: $\angle ABD = 180^\circ - \angle DAB - \angle ADB = 180^\circ - 120^\circ - 14^\circ = 46^\circ$. **Допущение:** Исходя из чертежа и свойств равнобедренной трапеции, если $\angle BDC = 106^\circ$ и $\angle BDA = 14^\circ$, то весь угол $D = 120^\circ$. Тогда угол $A = 120^\circ$. В треугольнике $ABD$ сумма углов $180^\circ$, значит $\angle ABD = 180 - 120 - 14 = 46^\circ$. 18. **Ответ: 6** Высота параллелограмма — это перпендикуляр между параллельными сторонами. 1) Считаем по клеткам: горизонтальное основание равно 4 клеткам. Высота к нему (вертикальная) равна 6 клеткам. 2) Другая высота будет проведена к боковой стороне, она будет меньше. Наибольшая высота равна 6. 19. **Ответ: 1** 1) **Верно**. Это аксиома геометрии: через точку, не лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 2) **Неверно**. В прямоугольнике равны только противоположные стороны (и диагонали), но не все четыре стороны (это свойство квадрата или ромба). 3) **Неверно**. Любой выпуклый четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны — это не обязательно квадрат (это может быть ромб или дельтоид). У квадрата они еще должны быть равны и делиться точкой пересечения пополам.