На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120°, AC = 24. Найдите диаметр окружности.

**Ответ: 24** **Решение:** 1. Так как $AB$ — диаметр окружности, то точка $O$ является её центром, а отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами ($OA = OB = OC = R$). 2. Рассмотрим треугольник $AOC$. Углы $AOB$ и $COB$ — смежные, так как $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой (диаметре). Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$. $$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle COB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$ 3. В треугольнике $AOC$ стороны $OA = OC$ (как радиусы), значит, треугольник равнобедренный. 4. Поскольку в равнобедренном треугольнике $AOC$ угол при вершине равен $60^{\circ}$, то и углы при основании равны: $$\angle OAC = \angle OCA = (180^{\circ} - 60^{\circ}) : 2 = 60^{\circ}$$ 5. Так как все углы треугольника $AOC$ равны $60^{\circ}$, этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $$OA = OC = AC = 24$$ 6. Радиус окружности $R = 24$. Диаметр $AB$ в два раза больше радиуса: $$AB = 2R = 2 \cdot 24 = 48$$ **Допущение:** В вопросе задания 12 просят найти диаметр окружности ($AB$).