Из точки B к плоскости α проведена наклонная BA, образующая с этой плоскостью угол 45°. В плоскости α проведена прямая AC, образующая с проекцией отрезка AB на данную плоскость угол 30°. Найдите косинус угла BAC.

**Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$** Пусть $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $AH$ — проекция наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$. 1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$): По условию $\angle BAH = 45^\circ$. Пусть $AB = c$. Тогда: $AH = AB \cdot \cos 45^\circ = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 2. Рассмотрим $\triangle AHC$ в плоскости $\alpha$: По условию $\angle HAC = 30^\circ$. По теореме косинусов для нахождения стороны $HC$ или через определение косинуса, если достроить до прямоугольного треугольника, нам удобнее использовать связь между углами. Однако воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах или определением косинуса угла между прямыми. 3. Пусть точка $C$ выбрана на прямой $AC$ так, что $AC = b$. По теореме косинусов для пространственных углов (или через координаты): $\cos \angle BAC = \cos \angle BAH \cdot \cos \angle HAC$ $\cos \angle BAC = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$