В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб со стороной a и углом BAD, равным 45°. Прямая A1D наклонена к плоскости грани AA1B1B под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

В прямом параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Чтобы найти площадь полной поверхности, нам нужно знать сторону основания $a$ и высоту параллелепипеда $h$ (ребро $AA_1$). **Ответ: $S_{\text{полн}} = 2a^2\frac{\sqrt{2}}{2} + 2a^2\sqrt{2} = a^2(\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 3a^2\sqrt{2}$** 1. **Площадь основания ($S_{\text{осн}}$):** Основанием является ромб со стороной $a$ и углом $45^\circ$. $$S_{\text{осн}} = a^2 \cdot \sin(45^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 2. **Нахождение высоты ($h$):** Рассмотрим наклон прямой $A_1D$ к плоскости грани $AA_1B_1B$. В прямом параллелепипеде высота ромба $DH$, опущенная на сторону $AB$, перпендикулярна всей грани $AA_1B_1B$. Значит, угол между $A_1D$ и гранью — это угол $\angle DA_1H = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $A_1HD$: $DH = a \cdot \sin(45^\circ) = a \frac{\sqrt{2}}{2}$ (высота ромба). $A_1H = DH \cdot \text{ctg}(30^\circ) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = a \frac{\sqrt{6}}{2}$. Из прямоугольного треугольника $A_1AH$ (где $AH = a \cdot \cos(45^\circ) = a \frac{\sqrt{2}}{2}$): $h^2 = A_1A^2 = A_1H^2 - AH^2 = (a \frac{\sqrt{6}}{2})^2 - (a \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = \frac{4a^2}{4} = a^2$. Следовательно, высота $h = a$. 3. **Площадь полной поверхности ($S_{\text{полн}}$):** $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = 4a \cdot a = 4a^2$. $S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{2} + 4a^2 = a^2\sqrt{2} + 4a^2 = a^2(\sqrt{2} + 4)$. **Допущение:** В ходе решения использовано стандартное свойство прямого параллелепипеда, где боковое ребро перпендикулярно основанию.