В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине A равен 120°, AC + AB = 18 см. Найдите AC и AB.

**Ответ: $AC = 6$ см, $AB = 12$ см.** **Решение:** 1) Найдем внутренний угол $A$ треугольника $ABC$. Так как внешний угол при вершине $A$ и внутренний угол $A$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$: $$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ 2) В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Найдем угол $B$: $$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$ 3) По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит против угла $B = 30^\circ$, значит: $$AC = \frac{1}{2} AB \implies AB = 2AC$$ 4) По условию задачи $AC + AB = 180$ см (вероятно, в учебнике опечатка и должно быть $18$ см, судя по масштабу чисел, решим для $18$ см): $$AC + 2AC = 18$$ $$3AC = 18$$ $$AC = 6 \text{ (см)}$$ 5) Найдем гипотенузу $AB$: $$AB = 2 \cdot 6 = 12 \text{ (см)}$$