18.27. а) 5 sin² x - 14 sin x cos x - 3 cos² x = 2; б) 3 sin² x - sin x cos x = 2; в) 2 cos² x - sin x cos x + 5 sin² x = 3; г) 4 sin² x - 2 sin x cos x = 3.

Это однородные тригонометрические уравнения второй степени. Чтобы их решить, нужно правую часть (число) заменить на тригонометрическую единицу $2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ и так далее, а затем разделить всё уравнение на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \neq 0$). а) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2$ $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$ $3 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $3 \text{tg}^2 x - 14 \text{tg} x - 5 = 0$ Пусть $\text{tg} x = t$, тогда $3t^2 - 14t - 5 = 0$ $D = 196 + 60 = 256 = 16^2$ $t_1 = \frac{14+16}{6} = 5$; $t_2 = \frac{14-16}{6} = -\frac{1}{3}$ 1) $\text{tg} x = 5 \Rightarrow x = \text{arctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg} x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = -\text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\text{arctg}(5) + \pi n; -\text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$ $\sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 2 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 2, t_2 = -1$ 1) $\text{tg} x = 2 \Rightarrow x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\text{arctg}(2) + \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$ $2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $2 \text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$ Сумма коэффициентов $2-1-1=0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = -0,5$ 1) $\text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg} x = -0,5 \Rightarrow x = -\text{arctg}(0,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; -\text{arctg}(0,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $\text{tg}^2 x - 2 \text{tg} x - 3 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 3, t_2 = -1$ 1) $\text{tg} x = 3 \Rightarrow x = \text{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $\text{arctg}(3) + \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$**