Задание 13. Найдите tg α, если...

**Задание 13** 1) **Ответ: 0,2** Для нахождения $\operatorname{tg} \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$. Так как $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$ (III четверть), косинус отрицательный. $\cos \alpha = -\sqrt{1 - (-\frac{4\sqrt{41}}{41})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16 \cdot 41}{41^2}} = -\sqrt{1 - \frac{16}{41}} = -\sqrt{\frac{25}{41}} = -\frac{5}{\sqrt{41}}$ $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-4\sqrt{41}/41}{-5/\sqrt{41}} = \frac{4}{5} = 0,8$ 2) **Ответ: 0,8** Аналогично: $\cos \alpha = -\sqrt{1 - (-\frac{5\sqrt{41}}{41})^2} = -\sqrt{\frac{16}{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}$ $\operatorname{tg} \alpha = \frac{-5\sqrt{41}/41}{-4/\sqrt{41}} = \frac{5}{4} = 1,25$ **Задание 14** 1) **Ответ: $-13\sqrt{2}$** Используем значения: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ $26\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = 26 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -13$ 5) **Ответ: $-1$** Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$: $\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \sqrt{2} \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$ **Задание 15** 1) **Ответ: $-3$** Вынесем общий множитель $3\sqrt{2}$: $3\sqrt{2}(\cos^2 \frac{9\pi}{8} - \sin^2 \frac{9\pi}{8})$. По формуле косинуса двойного угла: $3\sqrt{2} \cos(2 \cdot \frac{9\pi}{8}) = 3\sqrt{2} \cos \frac{9\pi}{4} = 3\sqrt{2} \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$ 2) **Ответ: $-2\sqrt{6}$** $4\sqrt{3}(\cos^2 \frac{7\pi}{12} - \sin^2 \frac{7\pi}{12}) = 4\sqrt{3} \cos \frac{7\pi}{6} = 4\sqrt{3} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 \cdot 3 = -6$