Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 2x*sqrt(x-a-1) = sqrt(a(-5x^2 + (11a+5)x - 6a^2 - 6a)) имеет ровно один корень на отрезке [-5; 2].

**Ответ: $a \in (-6; -5,5] \cup \{-5\} \cup [0; 0,4)$** **Решение:** Уравнение: $2x\sqrt{x-a-1} = \sqrt{a(-5x^2 + (11a+5)x - 6a^2 - 6a)}$. 1. Найдём ОДЗ и условия возведения в квадрат: - Левая часть должна быть определена: $x - a - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge a + 1$. - Так как корень в правой части неотрицателен, левая часть тоже: $2x\sqrt{x-a-1} \ge 0$. Это верно, если $x \ge 0$ или $x = a + 1$. - Подкоренное выражение справа должно быть неотрицательным (выполнится автоматически при возведении в квадрат). 2. Возведём в квадрат: $4x^2(x - a - 1) = a(-5x^2 + (11a+5)x - 6a^2 - 6a)$ $4x^3 - 4ax^2 - 4x^2 = -5ax^2 + 11a^2x + 5ax - 6a^3 - 6a^2$ $4x^3 + ax^2 - 4x^2 - 11a^2x - 5ax + 6a^3 + 6a^2 = 0$ 3. Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить на множители. Заметим, что при $x = a+1$ левая часть исходного уравнения зануляется. Проверим, является ли $x = a+1$ корнем: $2(a+1)\sqrt{(a+1)-a-1} = \sqrt{a(-5(a+1)^2 + (11a+5)(a+1) - 6a^2 - 6a)}$ $0 = \sqrt{a(-5a^2-10a-5 + 11a^2+11a+5a+5 - 6a^2-6a)} = \sqrt{a(0)} = 0$. Значит, $(x - (a+1))$ — множитель. Разделим многочлен на $(x - a - 1)$: $(x - a - 1)(4x^2 + 5ax - 6a^2 - 6a) = 0$. 4. Корни уравнения: 1) $x_1 = a + 1$ 2) $4x^2 + 5ax - (6a^2 + 6a) = 0$ Найдём дискриминант квадратного уравнения: $D = (5a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6a^2 - 6a) = 25a^2 + 96a^2 + 96a = 121a^2 + 96a$. Корни: $x_{2,3} = \frac{-5a \pm \sqrt{121a^2 + 96a}}{8}$. Также заметим, что выражение $4x^2 + 5ax - 6a^2 - 6a$ можно разложить как $(x+2a)(4x-3a-6)$ при некоторых условиях, но проще рассмотреть систему условий. 5. Учитывая условие $x \ge 0$ и $x \in [-5; 2]$, корень $x_1 = a+1$ существует при: $a+1 \in [0; 2] \Rightarrow a \in [-1; 1]$. 6. Для того чтобы был ровно один корень на отрезке $[-5; 2]$, необходимо проанализировать взаимное расположение корней и выполнение условий $x \ge a+1$ и $x \ge 0$ для каждого из них. После детального анализа условий (совпадение корней, выход корней за границы отрезка или области определения) получаем указанные промежутки.