Точка A находится на расстоянии 3√3 см от плоскости α. Наклонные AB и AC образуют с плоскостью углы 60° и 45° соответственно, а угол между наклонными равен 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

**Ответ: $\sqrt{15}$ см** Пусть $H$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH = 3\sqrt{3}$ см — перпендикуляр к плоскости. $AB$ и $AC$ — наклонные, $HB$ и $HC$ — их проекции на плоскость $\alpha$. 1. Из прямоугольного $\triangle ABH$ (где $\angle ABH = 60^\circ$): $$HB = \frac{AH}{\text{tg } 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ (см)}$$ 2. Из прямоугольного $\triangle ACH$ (где $\angle ACH = 45^\circ$): $$HC = \frac{AH}{\text{tg } 45^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{1} = 3\sqrt{3} \text{ (см)}$$ 3. Расстояние между основаниями наклонных — это отрезок $BC$. В $\triangle BHC$ угол $\angle BHC = 90^\circ$ (так как это угол между проекциями, соответствующий углу между наклонными плоскостями, проходящими через перпендикуляр). По теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{HB^2 + HC^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \text{ (см)}$$ **Допущение:** В условии сказано, что угол между наклонными равен $90^\circ$. Обычно в таких задачах подразумевается угол между их проекциями на плоскость, если речь идет о расстоянии между основаниями. Если же $90^\circ$ — это угол $BAC$, то расчет будет следующим: 1. Найдем длины наклонных: $$AB = \frac{AH}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \text{ (см)}$$ $$AC = \frac{AH}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6} \text{ (см)}$$ 2. Из $\triangle ABC$ (где $\angle BAC = 90^\circ$): $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{36 + 54} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \text{ (см)}$$ Чаще в школьной программе под «углом между наклонными» в контексте расстояния между основаниями понимают угол между их проекциями. Проверь уточнение в учебнике.