Точка A находится на расстоянии 3√3 см от плоскости α. Наклонные AB и AC образуют с плоскостью углы 60° и 45° соответственно, а угол между наклонными равен 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

**Ответ: 3√5 см** **Решение:** 1) Пусть $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, тогда $AO = 3\sqrt{3}$ см. Пусть $OB$ и $OC$ — проекции наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость. Угол между наклонными $\angle BAC = 90^{\circ}$. 2) Из прямоугольных треугольников $AOB$ ($\angle ABO = 60^{\circ}$) и $AOC$ ($\angle ACO = 45^{\circ}$) найдём длины наклонных: $$AB = \frac{AO}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \text{ см}$$ $$AC = \frac{AO}{\sin 45^{\circ}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6} \text{ см}$$ 3) Расстояние между основаниями наклонных — это отрезок $BC$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный, по теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{6})^2} = \sqrt{36 + 9 \cdot 6} = \sqrt{36 + 54} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \text{ см}$$ **Допущение:** В решении выше я использовал прямой путь через треугольник $ABC$. Проверим вычисления: $$BC^2 = 36 + 54 = 90 \Rightarrow BC = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$$ (Исправление ответа: $3\sqrt{10}$).