Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. Доказать: AB = AC.

**Доказательство:** 1. По условию прямая $a \perp (ABC)$, точка $M \in a$ и $A \in a$. Следовательно, отрезок $MA$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, так как он лежит на прямой $a$. 2. Из точки $M$ проведены наклонные $MB$ и $MC$ к плоскости $ABC$. Отрезки $AB$ и $AC$ являются их проекциями на плоскость $ABC$ соответственно. 3. Рассмотрим треугольник $MBC$. По рисунку видно, что $MD \perp BC$ (отрезок $MD$ является высотой) и точка $D$ — середина стороны $BC$ ($BD = DC$). Это означает, что треугольник $MBC$ является равнобедренным с основанием $BC$, следовательно, наклонные равны: $MB = MC$. 4. Согласно свойству наклонных: если равны наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, то равны и их проекции. Так как $MB = MC$, то проекция $AB$ равна проекции $AC$. **Ответ: Доказано, что AB = AC.**