Докажите утверждения в задачах 1а-5а, используя свойства перпендикулярности прямых и плоскостей.

Для решения этих задач мы будем использовать **теорему о трёх перпендикулярах (ТТП)**: если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. 1 а) **Доказательство:** 1. $MA \perp (ABC)$, значит, $MA$ — перпендикуляр к плоскости, а $MH$ — наклонная к плоскости $(ABC)$. 2. Отрезок $AH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость $(ABC)$. 3. По условию (судя по чертежу) $AH \perp BC$. 4. Так как прямая $BC$ в плоскости перпендикулярна проекции $AH$, то по ТТП она перпендикулярна и наклонной $MH$. **Следовательно, $MH \perp BC$.** 2 а) **Доказательство:** 1. $MA \perp (ABC)$, следовательно, $AC$ — проекция наклонной $MC$ на плоскость $(ABC)$. 2. Дано: $\angle ACB = 90^\circ$, значит $BC \perp AC$. 3. Прямая $BC$ лежит в плоскости и перпендикулярна проекции $AC$. 4. По ТТП прямая $BC$ перпендикулярна наклонной $MC$. **Следовательно, $MC \perp BC$.** 3 а) **Доказательство:** 1. $MA \perp (DBC)$, значит $AK$ — проекция наклонной $MK$ на плоскость $(DBC)$. 2. По чертежу $AK \perp DC$. 3. Так как прямая $DC$ в плоскости перпендикулярна проекции $AK$, то по ТТП $MK \perp DC$. **Следовательно, $MK \perp DC$.** 4 а) **Доказательство:** 1. $MA \perp (ABC)$, тогда $AB$ — проекция $MB$, а $AD$ — проекция $MD$. 2. Фигура $ABCD$ — прямоугольник (по прямым углам и равенству сторон на чертеже), значит $BC \perp AB$ и $CD \perp AD$. 3. Так как $BC \perp AB$ (проекции), то по ТТП $BC \perp MB$. 4. Так как $CD \perp AD$ (проекции), то по ТТП $CD \perp MD$. **Следовательно, $MB \perp BC$ и $MD \perp DC$.** 5 а) **Доказательство:** 1. $MA \perp (ABC)$, значит $AO$ — проекция наклонной $MO$. 2. $ABCD$ — ромб (все стороны равны по чертежу). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом: $AO \perp BD$ (или $AC \perp BD$). 3. Так как прямая $BD$ перпендикулярна проекции $AO$, то по ТТП $BD \perp MO$. 4. Раз угол между $MO$ и $BD$ прямой, то $\triangle MOD$ является прямоугольным (с прямым углом при вершине $O$). **Следовательно, $\triangle MOD$ — прямоугольный.**