Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = AC = 5 см, BC = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой BC.

149 **Ответ: 12 см и 13 см** 1. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это высота $AH$ равнобедренного $\triangle ABC$. Проведем $AH \perp BC$. Так как треугольник равнобедренный ($AB = AC$), $H$ — середина $BC$, значит $BH = 6 / 2 = 3$ см. 2. Из $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\text{ см}.$$ 3. Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это наклонная $DH$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $AD \perp (ABC)$ и $AH \perp BC$, то $DH \perp BC$. 4. Из прямоугольного $\triangle DAH$ ($AD = 12$ см, $AH = 4$ см): $$DH = \sqrt{AD^2 + AH^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\text{ см}.$$ 150 **Ответ: а) 2 см; б) 4 см** Пусть расстояние от точки $K$ до плоскости $(ABCD)$ — это отрезок $AK = h$, так как $AK \perp (ABCD)$. Пусть стороны прямоугольника $AB = a$, $AD = b$. Тогда $AC^2 = a^2 + b^2$. а) Из прямоугольных треугольников $KAD, KAB, KAC$ по теореме Пифагора: 1) $KD^2 = AK^2 + AD^2 \Rightarrow 6^2 = h^2 + b^2 \Rightarrow 36 = h^2 + b^2$ 2) $KB^2 = AK^2 + AB^2 \Rightarrow 7^2 = h^2 + a^2 \Rightarrow 49 = h^2 + a^2$ 3) $KC^2 = AK^2 + AC^2 \Rightarrow 9^2 = h^2 + (a^2 + b^2) \Rightarrow 81 = h^2 + a^2 + b^2$ Сложим уравнения (1) и (2): $36 + 49 = h^2 + b^2 + h^2 + a^2 = 2h^2 + a^2 + b^2 = 85$. Вычтем уравнение (3): $(2h^2 + a^2 + b^2) - (h^2 + a^2 + b^2) = 85 - 81 \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$. Расстояние $AK = 2$ см. б) Прямая $AK$ перпендикулярна плоскости прямоугольника, значит она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AD$ ($AK \perp AD$). Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $CD \perp AD$. Отрезок $AD$ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым $AK$ и $CD$. Найдем $b = AD$ из уравнения (1): $b^2 = 36 - h^2 = 36 - 4 = 32 \Rightarrow b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. (Исходя из условий $KC^2 = 81, KB^2 = 49, KD^2 = 36$)