Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = AC = 5 см, BC = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой BC.

Для решения этих задач воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах и теоремой Пифагора. **Задание 149** **Ответ: 4 см и $4\sqrt{10}$ см.** 1. Пусть $M$ — середина $BC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=AC$), то медиана $AM$ является и высотой ($AM \perp BC$). 2. Из прямоугольного $\triangle ABM$ по теореме Пифагора ($BM = \frac{BC}{2} = 3$ см): $$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\text{ (см)}$$ 3. Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра $AM$. **Ответ №1: 4 см.** 4. Так как $AD \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах $DM \perp BC$. Значит, расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это отрезок $DM$. 5. Из прямоугольного $\triangle DAM$ ($AD=12$ см, $AM=4$ см): $$DM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\text{ (см)}$$ **Ответ №2: $4\sqrt{10}$ см.** **Задание 150** **Ответ: а) 2 см; б) $4\sqrt{2}$ см.** а) Обозначим $AK = h$ (расстояние от точки $K$ до плоскости прямоугольника). По условию $AK \perp (ABC)$. 1. Из прямоугольных треугольников $KAD$ и $KAB$ имеем: $AD^2 = KD^2 - AK^2 = 6^2 - h^2 = 36 - h^2$ $AB^2 = KB^2 - AK^2 = 7^2 - h^2 = 49 - h^2$ 2. Из прямоугольного $\triangle KAC$ (где $AC$ — диагональ прямоугольника): $AC^2 = KC^2 - AK^2 = 9^2 - h^2 = 81 - h^2$ 3. По свойству прямоугольника $AC^2 = AB^2 + AD^2$. Подставим значения: $81 - h^2 = (49 - h^2) + (36 - h^2)$ $81 - h^2 = 85 - 2h^2$ $h^2 = 4 \Rightarrow h = 2\text{ (см)}$ б) Прямая $AK$ перпендикулярна плоскости прямоугольника, значит $AK \perp AD$. Прямая $CD$ параллельна $AB$ и перпендикулярна $AD$. Общий перпендикуляр между скрещивающимися прямыми $AK$ и $CD$ — это отрезок $AD$. 1. Найдем $AD$ из уравнения в пункте (а): $AD^2 = 36 - h^2 = 36 - 2^2 = 32$ $AD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ (см)}$