Найдите угол между B₁D и (ABC); между B₁D и (DD₁C₁).

1. Найдите угол между $B_1D$ и $(ABC)$; между $B_1D$ и $(DD_1C_1)$. **Ответ: $\angle B_1DB$ и $\angle B_1DC_1$** * Решение: * Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. * Для плоскости $(ABC)$: проекцией точки $B_1$ является точка $B$ (так как $B_1B \perp (ABC)$). Проекция прямой $B_1D$ — это прямая $BD$. Искомый угол — $\angle B_1DB$. * Для плоскости $(DD_1C_1)$: проекцией точки $B_1$ является точка $C_1$ (так как в прямоугольном параллелепипеде $B_1C_1 \perp (DD_1C_1)$). Проекция прямой $B_1D$ — это прямая $C_1D$. Искомый угол — $\angle B_1DC_1$. 2. $BB_1 \perp (ABC)$. Найдите угол между $BC_1$ и $(AA_1B_1)$. **Ответ: $\angle C_1B_1B$** * Решение: * Опустим перпендикуляр из точки $C_1$ на плоскость $(AA_1B_1)$. В данной призме это отрезок $C_1B_1$, так как $C_1B_1 \perp B_1A_1$ и $C_1B_1 \perp B_1B$. * Проекцией прямой $BC_1$ на плоскость $(AA_1B_1)$ будет прямая $BB_1$. * Искомый угол — это угол между прямой $BC_1$ и её проекцией $BB_1$, то есть $\angle C_1BB_1$. 3. $BD \perp (ABC)$. Найти угол между $CD$ и плоскостью $(ABD)$. **Ответ: $\angle CDB$** * Решение: * Чтобы найти угол между $CD$ и $(ABD)$, нужно найти проекцию $CD$ на эту плоскость. * Точка $D$ уже лежит в плоскости. Проведем перпендикуляр из точки $C$ к плоскости $(ABD)$. * Так как $BD \perp (ABC)$, то плоскость $(ABD) \perp (ABC)$. В плоскости $(ABC)$ проведем $CB \perp AB$ (если $\angle B = 90^\circ$). Тогда $CB$ будет перпендикуляром к плоскости $(ABD)$. * Проекцией $CD$ на $(ABD)$ будет отрезок $BD$. Искомый угол — $\angle CDB$.