Дано: AC = BC = 13, AB = 10, AE ⊥ BC, CD ⊥ AB. Найти: AE.

**Ответ: AE = 8\sqrt{2} \approx 11,31** **Допущение:** На чертеже точка пересечения высоты $CD$ с основанием $AB$ обозначена неразборчиво (похоже на $D$), и значение высоты $AE$ требуется найти исходя из равенства площадей. Решение: 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC = BC = 13$ и $AB = 10$. 2. Проведём высоту $CD$ к основанию $AB$. Так как треугольник равнобедренный, $D$ — середина $AB$, значит, $AD = DB = 5$. 3. По теореме Пифагора для $\triangle ADC$ найдём высоту $CD$: $$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ 4. Вычислим площадь треугольника двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AE$$ 5. Выразим и найдём высоту $AE$: $$60 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot AE$$ $$120 = 13 \cdot AE$$ $$AE = \frac{120}{13} \approx 9,23$$