1. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30 градусов.

1. **Ответ: 60** **Решение:** Если центр окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ является диаметром окружности. Угол $\angle ACB$ — вписанный и опирается на диаметр, значит, $\angle ACB = 90^{\circ}$. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$: $$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle ACB - \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$ 2. **Ответ: 32** **Решение:** Вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$. Значит, градусная мера дуги $ADC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 92^{\circ} = 184^{\circ}$. Вписанный угол $CAD$ опирается на дугу $CD$. Значит, дуга $CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Найдем дугу $AD$: $\cup AD = \cup ADC - \cup CD = 184^{\circ} - 120^{\circ} = 64^{\circ}$. Угол $ABD$ — вписанный и опирается на дугу $AD$, следовательно: $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 64^{\circ} = 32^{\circ}$$ 3. **Ответ: 121** **Решение:** Трапеция, вписанная в окружность, всегда является равнобедренной. Значит, боковые стороны $AB = CD$, а углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D = 59^{\circ}$ и $\angle B = \angle C$. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$ ($BC \parallel AD$): $$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 59^{\circ} = 121^{\circ}$$