3. Найти стороны прямоугольного треугольника, если его периметр равен 99,4 см, один из катетов на 15,4 см больше другого, а один из острых углов 30°.

3. **Ответ: $15,4$ см, $30,8$ см, $53,2$ см** Пусть один катет равен $x$ см, тогда другой катет — $(x + 15,4)$ см. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. **Допущение:** предположим, что катет $x$ и есть тот самый, что лежит против угла $30^\circ$. Тогда гипотенуза равна $2x$. Составим уравнение по периметру: $$x + (x + 15,4) + 2x = 99,4$$ $$4x + 15,4 = 99,4$$ $$4x = 84$$ $$x = 21$$ Тогда стороны: $21$ см, $21 + 15,4 = 36,4$ см и $2 \cdot 21 = 42$ см. Проверим сумму: $21 + 36,4 + 42 = 99,4$ см. Если же катет $(x + 15,4)$ лежит против угла $30^\circ$, то гипотенуза равна $2(x + 15,4) = 2x + 30,8$. Уравнение: $$x + (x + 15,4) + (2x + 30,8) = 99,4$$ $$4x + 46,2 = 99,4$$ $$4x = 53,2$$ $$x = 13,3$$ Тогда стороны: $13,3$ см, $13,3 + 15,4 = 28,7$ см и $2 \cdot 28,7 = 57,4$ см. Проверим сумму: $13,3 + 28,7 + 57,4 = 99,4$ см. 4. **Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$** Пусть высоты $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $M$. Рассмотрим четырехугольник $AEMD$. В нем углы $E$ и $D$ прямые ($90^\circ$), так как это основания высот. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Углы $DME$ и $BMC$ вертикальные, значит $\angle DME = \angle BMC = 140^\circ$. Тогда угол при вершине $A$: $$\angle A = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и остроугольный ($AB = AC$), углы при основании $B$ и $C$ равны: $$\angle B = \angle C = (180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$$