Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 11 см. Найдите основание этого треугольника.

**Ответ: 22 см** Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ сторона $AB = BC$ (боковые стороны), а $\angle ABC = 120^\circ$ (угол при вершине). Проведём высоту $AH$ к прямой, содержащей боковую сторону $BC$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). 2. Угол $\angle ABH$ является смежным к углу при вершине $\angle ABC$. $$\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ 3. В прямоугольном треугольнике $AHB$ найдём угол $\angle BAH$: $$\angle BAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$ 4. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $BH$ лежит против $\angle BAH$. Однако нам известна высота $AH = 11$ см. 5. Найдём боковую сторону $AB$ через синус угла $\angle ABH$: $$\sin(60^\circ) = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AB = \frac{11}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{22}{\sqrt{3}}$$ 6. Теперь найдём основание $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$ 7. По теореме синусов для треугольника $ABC$: $$\frac{AC}{\sin(120^\circ)} = \frac{AB}{\sin(30^\circ)}$$ $$AC = \frac{AB \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\frac{22}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{11}{\frac{1}{2}} = 22$$