Из точки M к плоскости α проведены наклонные MA и MB. Наклонная MA образует с плоскостью α угол 45°, а наклонная MB — угол 30°. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если MA = 6 см, а угол между наклонными равен 45°.

**Ответ: $3\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ см** **Решение:** 1. Пусть $MO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $OA$ и $OB$ — проекции наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\alpha$. Треугольники $MOA$ и $MOB$ — прямоугольные ($\angle MOA = \angle MOB = 90^\circ$). 2. Из $\triangle MOA$ ($MA = 6$, $\angle MAO = 45^\circ$): $$MO = MA \cdot \sin 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$$ $$OA = MA \cdot \cos 45^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$$ 3. Из $\triangle MOB$ ($MO = 3\sqrt{2}$, $\angle MBO = 30^\circ$): $$MB = \frac{MO}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$$ $$OB = \frac{MO}{\text{tg } 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{6} \text{ см}$$ 4. Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка $AB$. Рассмотрим $\triangle AMB$, где $\angle AMB = 45^\circ$: По теореме косинусов: $$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos 45^\circ$$ $$AB^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$AB^2 = 36 + 72 - 72 = 36$$ $$AB = 6 \text{ см}$$ **Допущение:** В условии спрашивается расстояние между основаниями наклонных ($AB$). Если под «углом между наклонными» подразумевается угол $\angle AMB$, то ответ выше. Однако часто в таких задачах ищут $AB$ через проекции в плоскости $\alpha$, если задан угол между проекциями. Если же $45^\circ$ — это угол $AMB$: **Ответ: 6 см.**