Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису AK; б) медиану BM; в) высоту CH треугольника. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30'.

**Ответ:** 159. Для выполнения построения произвольно начерти треугольник $ABC$. а) **Биссектриса $AK$:** 1. Из вершины $A$ проведи дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны $AB$ и $AC$ в двух точках. 2. Из этих точек проведи две дуги одинакового радиуса внутри треугольника до их пересечения. 3. Проведи луч из точки $A$ через точку пересечения дуг до стороны $BC$. Это и есть биссектриса $AK$. б) **Медиана $BM$:** 1. Найди середину стороны $AC$. Для этого проведи две дуги одинакового радиуса с центрами в точках $A$ и $C$. Соедини точки их пересечения прямой — там, где она пересечёт $AC$, будет точка $M$. 2. Соедини вершину $B$ с точкой $M$. Отрезок $BM$ — медиана. в) **Высота $CH$:** 1. Из точки $C$ проведи дугу, пересекающую прямую $AB$ в двух точках. 2. Из этих точек проведи две дуги одинакового радиуса с другой стороны от прямой $AB$ до их пересечения. 3. Проведи прямую через точку $C$ и точку пересечения дуг. Отрезок от $C$ до пересечения с прямой $AB$ — высота $CH$. 160. а) **Угол $45^\circ$:** 1. Построй прямой угол ($90^\circ$): проведи прямую, отметь точку, восстанови перпендикуляр. 2. Построй биссектрису этого прямого угла (как в задаче 159а). Получишь угол $45^\circ$. б) **Угол $22^\circ 30'$:** 1. Построй угол $45^\circ$. 2. Построй биссектрису угла $45^\circ$. Так как $45^\circ : 2 = 22,5^\circ$, а $0,5^\circ = 30'$, получится искомый угол.