Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = ctg x на заданном промежутке

**Ответ:** а) $y_{min} = 0$, $y_{max} = 1$; б) Наименьшего и наибольшего значений не существует (функция стремится к $-\infty$ при $x \to \pi$); в) Наименьшего и наибольшего значений не существует (функция принимает любые значения от $-\infty$ до $+\infty$); г) $y_{min} = -1$, $y_{max} = \sqrt{3}$. **Решение:** Функция $y = \text{ctg } x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Это значит, что на левом конце промежутка она принимает большее значение, а на правом — меньшее. а) Отрезок $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$: $$y_{max} = y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \text{ctg } \frac{\pi}{4} = 1$$ $$y_{min} = y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \text{ctg } \frac{\pi}{2} = 0$$ б) Полуинтервал $[\frac{\pi}{2}; \pi)$: На левом конце $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. Однако на правом конце при $x \to \pi$ значение функции $\text{ctg } x \to -\infty$. Так как интервал открыт справа и функция не ограничена снизу, наибольшее значение $y_{max} = 0$, а наименьшего не существует. в) Интервал $(-\pi; 0)$: На этом интервале функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Поскольку интервал открытый и функция не ограничена, ни наименьшего, ни наибольшего значений нет. г) Отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}]$: $$y_{max} = y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \text{ctg } \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$$ $$y_{min} = y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \text{ctg } \frac{3\pi}{4} = -1$$