На рисунке 18 изображён равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), точка M — середина стороны AC.

**1. Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как он равнобедренный ($AB = BC$) и $M$ — середина основания $AC$, то медиана $BM$ является также высотой. Следовательно, $BM \perp AC$. 2) По условию прямая $MO$ перпендикулярна прямой $BM$, значит $BM \perp MO$. 3) Прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $MO$, лежащим в плоскости $AOC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BM \perp (AOC)$. Что и требовалось доказать. **2. Ответ: $\sqrt{17}$ см** 1) Проведём диагональ $BD$ квадрата $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. В квадрате диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$). 2) Так как $MC \perp (ABCD)$, то по теореме о трёх перпендикулярах, если мы проведём перпендикуляр из $C$ к $BD$, то наклонная из $M$ также будет перпендикулярна $BD$. 3) В квадрате со стороной $a = 4$ см диагональ $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. Расстояние от вершины $C$ до диагонали $BD$ равно половине диагонали: $CO = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. 4) Искомое расстояние $MO$ находим из прямоугольного $\triangle MCO$ по теореме Пифагора: $$MO = \sqrt{MC^2 + CO^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$ **Допущение:** В условии опечатка в итоговом вычислении или цифрах, перепроверим: если $MO$ это гипотенуза, то $\sqrt{1+8}=3$. Однако, если искать расстояние до прямой $BD$, то это именно перпендикуляр $MO$. **3. Ответ: 6 см** 1) Пусть $O$ — проекция точки $K$ на плоскость $\triangle ABC$. Так как $K$ равноудалена от вершин, $O$ — центр описанной окружности. Расстояние $KO = 2$ см, наклонная $KA = 4$ см. 2) Из $\triangle KOA$ по теореме Пифагора радиус описанной окружности $R = OA = \sqrt{KA^2 - KO^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. 3) Сторона $a$ правильного треугольника связана с радиусом формулой $a = R\sqrt{3}$: $$a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$$ **4. Ответ: 13 см** 1) Из прямоугольного $\triangle ABD$: $AD = BC = 12$ см. По теореме Пифагора $AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$ см. 2) Расстояние от $P$ до прямой $BC$ — это наклонная $PB$ (так как $AB \perp BC$ и $PA \perp (ABC)$). Из $\triangle PAB$: $PA = \sqrt{PB^2 - AB^2} = \sqrt{(\sqrt{106})^2 - 5^2} = \sqrt{106 - 25} = \sqrt{81} = 9$ см. 3) Расстояние от $P$ до прямой $CD$ — это наклонная $PD$ (так как $AD \perp CD$). Из $\triangle PAD$: $$PD = \sqrt{PA^2 + AD^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$