На рисунке 111 прямые a и b пересечены прямой c. Докажите, что a || b, если: а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°; б) ∠1 = ∠6; в) ∠1 = 45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3.

**Ответ: доказано.** Для решения этой задачи вспомним признаки параллельности прямых. Прямые $a$ и $b$ параллельны, если: 1) Накрест лежащие углы равны. 2) Соответственные углы равны. 3) Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$. Рассмотрим каждый случай: **а) $\angle 1 = 37^{\circ}$, $\angle 7 = 143^{\circ}$** 1. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, значит $\angle 3 = \angle 1 = 37^{\circ}$. 2. Углы $\angle 3$ и $\angle 7$ — соответственные. 3. Углы $\angle 7$ и $\angle 5$ — вертикальные, значит $\angle 5 = \angle 7 = 143^{\circ}$. 4. Проверим сумму односторонних углов $\angle 3$ и $\angle 5$: $$\angle 3 + \angle 5 = 37^{\circ} + 143^{\circ} = 180^{\circ}$$ Так как сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). **б) $\angle 1 = \angle 6$** 1. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, значит $\angle 3 = \angle 1$. 2. Получаем, что $\angle 3 = \angle 6$. 3. Углы $\angle 3$ и $\angle 6$ являются накрест лежащими при прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Так как накрест лежащие углы равны, то $a \parallel b$. **в) $\angle 1 = 45^{\circ}$, а угол 7 в 3 раза больше угла 3** 1. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные, значит $\angle 3 = \angle 1 = 45^{\circ}$. 2. По условию $\angle 7 = 3 \cdot \angle 3 = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}$. 3. Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ — вертикальные, значит $\angle 5 = \angle 7 = 135^{\circ}$. 4. Проверим сумму односторонних углов $\angle 3$ и $\angle 5$: $$\angle 3 + \angle 5 = 45^{\circ} + 135^{\circ} = 180^{\circ}$$ Так как сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, то $a \parallel b$.