Расстояние от точки M до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB=6 см.

**Ответ: 2 см** **Решение:** 1. Пусть $MO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда $O$ — центр описанной окружности правильного треугольника $ABC$, а $MO$ — искомое расстояние. 2. Поскольку $M$ равноудалена от вершин треугольника, точка $O$ является центром описанной окружности. Радиус этой окружности $R = OA = OB = OC$ для правильного треугольника вычисляется по формуле: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ где $a = AB = 6\text{ см}$. $$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\text{ см}$$ 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOA$ (где $\angle MOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $$MO^2 + OA^2 = MA^2$$ $$MO^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4^2$$ $$MO^2 + 12 = 16$$ $$MO^2 = 4$$ $$MO = 2\text{ см}$$