В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.

**Ответ: 48\sqrt{5} \text{ см}^3 \approx 107,33 \text{ см}^3** Пусть $a, b, c$ — длины ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины. Диагонали граней, образованных этими ребрами, вычисляются по теореме Пифагора. Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a^2 + b^2 = 7^2 \\ a^2 + c^2 = 8^2 \\ b^2 + c^2 = 9^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + b^2 = 49 \quad (1) \\ a^2 + c^2 = 64 \quad (2) \\ b^2 + c^2 = 81 \quad (3) \end{cases}$$ 1. Сложим все три уравнения: $$2(a^2 + b^2 + c^2) = 49 + 64 + 81$$ $$2(a^2 + b^2 + c^2) = 194$$ $$a^2 + b^2 + c^2 = 97 \quad (4)$$ 2. Найдем квадраты ребер, вычитая уравнения (1), (2) и (3) из уравнения (4): - $c^2 = 97 - 49 = 48 \Rightarrow c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ - $b^2 = 97 - 64 = 33 \Rightarrow b = \sqrt{33}$ - $a^2 = 97 - 81 = 16 \Rightarrow a = 4$ 3. Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$: $$V = 4 \cdot \sqrt{33} \cdot 4\sqrt{3} = 16 \cdot \sqrt{99} = 16 \cdot \sqrt{9 \cdot 11} = 16 \cdot 3\sqrt{11} = 48\sqrt{11} \text{ см}^3$$ **Допущение:** В ходе вычислений обнаружена ошибка в извлечении корня выше. Пересчитаем $V^2 = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2$: $$V^2 = 16 \cdot 33 \cdot 48 = 25344$$ $$V = \sqrt{25344} = \sqrt{2304 \cdot 11} = 48\sqrt{11} \text{ см}^3 \approx 159,19 \text{ см}^3$$ Исправим вычисление: $$V = 4 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{48} = 4 \cdot \sqrt{1584} = 4 \cdot \sqrt{144 \cdot 11} = 4 \cdot 12\sqrt{11} = 48\sqrt{11}$$