В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.

**Ответ: 48\sqrt{5} \text{ см}^3 \approx 107,33 \text{ см}^3** Пусть $a, b, c$ — измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота). Диагонали граней, выходящие из одной вершины, вычисляются по теореме Пифагора: 1) $a^2 + b^2 = 7^2 = 49$ 2) $a^2 + c^2 = 8^2 = 64$ 3) $b^2 + c^2 = 9^2 = 81$ Сложим все три уравнения: $(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 49 + 64 + 81$ $2(a^2 + b^2 + c^2) = 194$ $a^2 + b^2 + c^2 = 97$ Теперь найдем квадраты измерений: - $c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 97 - 49 = 48$ - $b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 97 - 64 = 33$ - $a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 97 - 81 = 16$ Значит: $a = 4$, $b = \sqrt{33}$, $c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Объем параллелепипеда $V = a \cdot b \cdot c$: $V = 4 \cdot \sqrt{33} \cdot 4\sqrt{3} = 16 \cdot \sqrt{33 \cdot 3} = 16 \cdot \sqrt{99} = 16 \cdot 3\sqrt{11} = 48\sqrt{11} \text{ см}^3$ (исправлено: $V = 4 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{48} = 4 \cdot \sqrt{1584} = 4 \cdot 12\sqrt{11}$ — нет, проще через квадраты: $V^2 = a^2 b^2 c^2 = 16 \cdot 33 \cdot 48 = 25344$, тогда $V = \sqrt{25344} = 48\sqrt{11} \approx 159,19$). Пересчитаем точнее: $V = \sqrt{a^2 \cdot b^2 \cdot c^2} = \sqrt{16 \cdot 33 \cdot 48} = \sqrt{16 \cdot 33 \cdot 16 \cdot 3} = 16\sqrt{99} = 48\sqrt{11} \text{ см}^3$.