Найдите наименьшее значение функции f(x) = 9x - 15√(4x - 1)

**Ответ: -14,25** Чтобы найти наименьшее значение функции, воспользуемся производной: 1. Найдём область определения функции: $$4x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0,25$$ 2. Найдём производную функции $f(x) = 9x - 15\sqrt{4x - 1}$: $$f'(x) = 9 - 15 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x - 1}} \cdot 4 = 9 - \frac{30}{\sqrt{4x - 1}}$$ 3. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $$9 - \frac{30}{\sqrt{4x - 1}} = 0$$ $$\frac{30}{\sqrt{4x - 1}} = 9$$ $$\sqrt{4x - 1} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$$ Возведём в квадрат: $$4x - 1 = \frac{100}{9}$$ $$4x = \frac{100}{9} + 1 = \frac{109}{9}$$ $$x = \frac{109}{36}$$ 4. Определим характер точки. При $x > \frac{109}{36}$ производная положительна, при $0,25 < x < \frac{109}{36}$ — отрицательна. Значит, $x = \frac{109}{36}$ — точка минимума. 5. Вычислим наименьшее значение функции в этой точке: $$f\left(\frac{109}{36}\right) = 9 \cdot \frac{109}{36} - 15\sqrt{4 \cdot \frac{109}{36} - 1} = \frac{109}{4} - 15\sqrt{\frac{109}{9} - 1} = 27,25 - 15\sqrt{\frac{100}{9}} = 27,25 - 15 \cdot \frac{10}{3} = 27,25 - 50 = -22,75$$ **Исправление:** Пересчитаем внимательно. $$f\left(\frac{109}{36}\right) = 27,25 - 50 = -22,75$$ **Ответ: -22,75**