ABCDA1B1C1D1 - куб. Построить угол между плоскостями BA1C1 и BAD1

**Ответ: Угол между плоскостями $BA_1C_1$ и $BAD_1$ — это угол $\angle A_1BD_1$.** **Решение:** 1. **Найдём линию пересечения плоскостей:** Обе плоскости проходят через вершину $B$. Точка $A_1$ принадлежит плоскости $BA_1C_1$ (по названию) и плоскости $BAD_1$ (так как $A_1$ лежит на ребре $AA_1$, которое является частью боковой грани $AA_1D_1D$). Следовательно, линия пересечения плоскостей — прямая $BA_1$. 2. **Построим линейный угол двугранного угла:** * В плоскости $BA_1C_1$ рассмотрим треугольник $BA_1C_1$. Прямая $A_1C_1$ перпендикулярна $A_1B$ (так как $A_1C_1$ — диагональ верхней грани, а $A_1B$ — диагональ боковой, но в данном случае удобнее использовать свойство перпендикулярности прямой и плоскости). * Однако проще заметить, что искомый угол — это угол между диагоналями граней, выходящими из одной точки. Отрезки $BA_1$, $BC_1$ и $BD_1$ являются диагоналями граней куба. * Рассмотрим треугольник $A_1BD_1$. Его стороны — $BA_1$, $BD_1$ и $A_1D_1$. Все они являются диагоналями граней куба. Так как у куба все грани — равные квадраты, то и их диагонали равны: $BA_1 = BD_1 = A_1D_1$. * Следовательно, $\triangle A_1BD_1$ — равносторонний. 3. **Определение угла:** Угол между плоскостями измеряется линейным углом. В данной конфигурации, так как плоскости пересекаются по диагонали $BA_1$, и мы рассматриваем треугольники, образованные диагоналями, искомым углом является $\angle A_1BD_1$. 4. **Величина угла:** Так как треугольник $A_1BD_1$ равносторонний, то любой его внутренний угол равен $60^\circ$. $$\angle A_1BD_1 = 60^\circ$$