ABCDA1B1C1D1 - куб. Построить угол между плоскостью ABB1 и плоскостью AC1C.

**Ответ: углом между плоскостями $ABB_1$ и $AC_1C$ является угол $\angle BAC$ (или $\angle B_1A_1C_1$).** **Решение:** 1. Плоскость $ABB_1$ — это плоскость передней (или боковой левой) грани куба $ABB_1A_1$. 2. Плоскость $AC_1C$ проходит через диагональ основания $AC$ и боковые ребра $AA_1$, $CC_1$. Эта плоскость содержит прямую $AA_1$. 3. Заметим, что обе плоскости пересекаются по прямой $AA_1$, так как точка $A$ и точка $A_1$ (лежащая на прямой $BB_1$ в той же вертикальной плоскости) принадлежат обеим плоскостям. Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. 4. В плоскости $ABB_1$ проведем прямую $AB$, которая перпендикулярна линии пересечения $AA_1$ (так как $AA_1 \perp AB$ в квадрате $ABB_1A_1$). 5. В плоскости $AC_1C$ проведем прямую $AC$, которая также перпендикулярна линии пересечения $AA_1$ (так как $AA_1 \perp AC$ в прямоугольнике $ACC_1A_1$). 6. Согласно определению, линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в этих плоскостях из одной точки. Следовательно, искомый угол — это $\angle BAC$. 7. Поскольку в основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагональ $AC$ является биссектрисой прямого угла $\angle BAD$. Значит, $\angle BAC = 45^\circ$.