Расстояние от точки M до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см.

**Ответ: 2 см** **Решение:** 1. Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин правильного треугольника ($MA = MB = MC = 4$ см), то точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$. 2. Расстояние от вершины правильного треугольника до его центра $O$ равно радиусу описанной окружности $R$. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вычисляется по формуле: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ Подставим значение стороны $AB = 6$ см: $$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$ 3. Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника — это перпендикуляр $MO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOA$ (где $\angle MOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $$MO^2 + OA^2 = MA^2$$ $$MO^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4^2$$ $$MO^2 + 4 \cdot 3 = 16$$ $$MO^2 + 12 = 16$$ $$MO^2 = 4$$ $$MO = 2 \text{ см}$$