Решить задачи на доказательство перпендикулярности прямых и плоскостей (теорема о трех перпендикулярах).

Ниже представлены решения задач на доказательство с использованием теоремы о трёх перпендикулярах. **1 а)** **Доказательство:** 1. По условию $MA \perp (ABC)$, значит, $MA$ — перпендикуляр к плоскости, а $MH$ — наклонная к этой плоскости. Тогда $AH$ — проекция наклонной $MH$ на плоскость $(ABC)$. 2. Рассмотрим $\triangle ABC$. Судя по чертежу (равные штрихи на сторонах $AB$ и $AC$), $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB=AC$). Точка $H$ является серединой $BC$ (равные штрихи на отрезках $BH$ и $HC$). 3. В равнобедренном треугольнике медиана $AH$, проведённая к основанию, является и высотой, следовательно, $AH \perp BC$. 4. Так как проекция $AH \perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах сама наклонная **$MH \perp BC$**. Что и требовалось доказать. **2 а)** **Доказательство:** 1. $MA \perp (ABC)$, следовательно, $MA$ — перпендикуляр, $MC$ — наклонная, $AC$ — проекция наклонной на плоскость $(ABC)$. 2. По условию $\angle ACB = 90^\circ$, это означает, что проекция $AC \perp BC$. 3. По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и наклонная **$MC \perp BC$**. Что и требовалось доказать. **3 а)** **Доказательство:** 1. $MA \perp (DBC)$, значит $MA$ — перпендикуляр к плоскости, $MK$ — наклонная, $AK$ — проекция. 2. На чертеже отмечено, что $AK \perp DC$ (прямой угол в основании). 3. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция $AK \perp DC$, то и наклонная **$MK \perp DC$**. Что и требовалось доказать. **4 а)** **Доказательство:** 1. $MA \perp (ABC)$, тогда $MA$ — перпендикуляр. 2. Для прямой $BC$: $MB$ — наклонная, $AB$ — проекция. На чертеже $ABCD$ — прямоугольник (или параллелограмм с прямым углом $C$), и отмечено $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$. Угол $\angle ABC = 90^\circ$, значит $AB \perp BC$. По теореме о трёх перпендикулярах **$MB \perp BC$**. 3. Для прямой $DC$: $MD$ — наклонная, $AD$ — проекция. Так как $ABCD$ прямоугольник, то $AD \perp DC$. По теореме о трёх перпендикулярах **$MD \perp DC$**. Что и требовалось доказать.