Из точки A к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 19 см и 2√70 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 5 : 4. Найдите расстояние от точки A до плоскости α.

**Ответ: 3) 14 см** Пусть $h$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ (перпендикуляр), $l_1 = 19$ см и $l_2 = 2\sqrt{70}$ см — наклонные, а $x_1$ и $x_2$ — их проекции. 1. По условию проекции относятся как $5:4$, значит: $x_1 = 5k$ $x_2 = 4k$ 2. По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников: $h^2 = l_1^2 - x_1^2 = 19^2 - (5k)^2 = 361 - 25k^2$ $h^2 = l_2^2 - x_2^2 = (2\sqrt{70})^2 - (4k)^2 = 4 \cdot 70 - 16k^2 = 280 - 16k^2$ 3. Приравняем выражения для $h^2$: $361 - 25k^2 = 280 - 16k^2$ $361 - 280 = 25k^2 - 16k^2$ $81 = 9k^2$ $k^2 = 9 \Rightarrow k = 3$ 4. Найдем расстояние $h$: $h^2 = 280 - 16 \cdot 3^2 = 280 - 16 \cdot 9 = 280 - 144 = 136$ (ошибка в расчетах выше, проверим второе уравнение) $h^2 = 361 - 25 \cdot 9 = 361 - 225 = 136$ $h = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$ см. **Допущение:** В условии или вариантах ответов может быть опечатка. Если рассматривать вариант 3 (14 см), то $h^2 = 196$. Тогда: $25k^2 = 361 - 196 = 165 \Rightarrow k^2 = 6.6$ $16k^2 = 280 - 196 = 84 \Rightarrow k^2 = 5.25$. Значения не совпадают. Пересчитаем внимательно: $h^2 = 361 - 25k^2$ $h^2 = 280 - 16k^2$ $9k^2 = 81 \Rightarrow k = 3$ $h = \sqrt{361 - 25 \cdot 9} = \sqrt{361 - 225} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$. Это соответствует варианту 2. **Ответ: 2) 2\sqrt{34} см**