Найдите корни уравнения (x+5)/(x-1) + (2x-5)/(x-7) - (30-12x)/(8x-x^2-7) = 0

**Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -15$** **Решение:** 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатели не могут быть равны нулю: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ $x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$ $8x - x^2 - 7 \neq 0$ Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения $-x^2 + 8x - 7 = 0$ — это $1$ и $7$ (по теореме Виета). Значит: $8x - x^2 - 7 = -(x - 1)(x - 7)$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 7) \cup (7; +\infty)$. 2. **Приведение к общему знаменателю:** Перепишем уравнение, заменив знаменатель третьей дроби и изменив перед ней знак: $$\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2x - 5}{x - 7} + \frac{30 - 12x}{(x - 1)(x - 7)} = 0$$ Домножим всё уравнение на общий знаменатель $(x - 1)(x - 7)$: $$(x + 5)(x - 7) + (2x - 5)(x - 1) + 30 - 12x = 0$$ 3. **Раскрытие скобок и упрощение:** $$(x^2 - 7x + 5x - 35) + (2x^2 - 2x - 5x + 5) + 30 - 12x = 0$$ $$x^2 - 2x - 35 + 2x^2 - 7x + 5 + 30 - 12x = 0$$ Приводим подобные слагаемые: $$3x^2 - 21x = 0$$ $$3x(x - 7) = 0$$ 4. **Нахождение корней:** Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ 5. **Проверка по ОДЗ:** $x = 0$ — входит в ОДЗ. $x = 7$ — не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в ноль). **Допущение:** В процессе упрощения возникло подозрение на опечатку в исходном тексте изображения (числитель третьей дроби), так как обычно такие задачи имеют целые корни или более сложные преобразования. Однако, строго следуя записи на картинке $30 - 12x$, корень $x=7$ является посторонним.