Решите уравнения: а) 5 sin² x - 14 sin x cos x - 3 cos² x = 2; б) 3 sin² x - sin x cos x = 2

Для решения этих однородных тригонометрических уравнений второго порядка воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$. а) **Ответ: $x = \operatorname{arctg} 5 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\operatorname{arctg} 0,2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** 1. Подставим тождество в правую часть: $5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$ 2. Перенесем всё в левую часть и приведем подобные: $3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$ 3. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (с учетом $\cos x \neq 0$): $3\operatorname{tg}^2 x - 14\operatorname{tg} x - 5 = 0$ 4. Пусть $\operatorname{tg} x = t$. Решим квадратное уравнение $3t^2 - 14t - 5 = 0$: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$ $t_1 = \frac{14 + 16}{6} = 5$; $t_2 = \frac{14 - 16}{6} = -\frac{1}{3} \approx -0,33$ 5. Вернемся к замене: $\operatorname{tg} x = 5 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 5 + \pi k$ $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$ б) **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\operatorname{arctg} 4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** 1. Преобразуем уравнение аналогично: $3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$ 2. Приведем к виду: $\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$ 3. Делим на $\cos^2 x$: $\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 2 = 0$ 4. По теореме Виета для $\operatorname{tg} x$: $t_1 = 2$; $t_2 = -1$ 5. Решим: $\operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k$ $\operatorname{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$