9. Дано: ABCD – прямоугольник, BF ⊥ AB, AF ⊥ AD, BD = 7, DF = 25. Найдите S_BDF. 10. Дано: ABCD – прямоугольник, BF ⊥ (ABC), AC = 12, FD = 13. Найдите BF.

9. **Ответ: $S_{BDF} = 84$** 1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, угол $A$ прямой. По условию $BF \perp AB$ и $AF \perp AD$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция $AB$ перпендикулярна $AD$, то и наклонная $FB$ перпендикулярна плоскости основания (или $BF \perp (ABC)$). Таким образом, треугольник $FBD$ — прямоугольный с прямым углом $B$. 2. В прямоугольном треугольнике $FBD$ известны гипотенуза $FD = 25$ и катет $BD = 7$. По теореме Пифагора найдём катет $BF$: $$BF = \sqrt{FD^2 - BD^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$ 3. Найдём площадь прямоугольного треугольника $BDF$: $$S_{BDF} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$$ 10. **Ответ: $BF = 5$** 1. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны, поэтому $BD = AC = 12$. 2. Так как $BF \perp (ABC)$, то $BF$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $BF \perp BD$. Треугольник $FBD$ — прямоугольный. 3. В прямоугольном треугольнике $FBD$ известны гипотенуза $FD = 13$ и катет $BD = 12$. По теореме Пифагора найдём $BF$: $$BF = \sqrt{FD^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$