В окружности с центром O проведена хорда AB. Отрезок OC - радиус окружности, перпендикулярный к AB. Докажите, что луч CO - биссектриса угла ACB.

**Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB$. Следовательно, $\triangle AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. 2. Пусть точка $M$ — точка пересечения радиуса $OC$ с хордой $AB$. По условию $OC \perp AB$, значит, $OM$ — высота в равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$, проведенная к основанию. 3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $AM = MB$. 4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$: - Сторона $MC$ — общая; - $AM = MB$ (доказано выше); - $\angle AMC = \angle BMC = 90^\circ$ (так как $OC \perp AB$). 5. Следовательно, $\triangle AMC = \triangle BMC$ по двум катетам. 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ACM = \angle BCM$. 7. Так как углы при вершине $C$ равны, луч $CO$ является биссектрисой угла $ACB$. Что и требовалось доказать.