Миша задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 18, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Миша? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ: 15 и 3 или 14 и 4.** Пусть задуманные натуральные числа равны $a$ и $b$ ($a > b$). По условию задачи: 1. Сумма чисел: $a + b = 18$ 2. Разность чисел $d = a - b$ находится в промежутке: $10 < d < 14$ Так как числа натуральные, их разность $d$ может быть только целым числом. В указанном интервале это числа $11$, $12$ или $13$. Заметим важную особенность: сумма двух чисел $(a+b)$ и их разность $(a-b)$ всегда имеют одинаковую чётность. Так как их сумма $18$ — чётное число, то и разность $d$ обязана быть чётной. Из возможных вариантов разности ($11, 12, 13$) чётным является только $12$. Составим и решим систему уравнений: $$\begin{cases} a + b = 18 \\ a - b = 12 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $2a = 30$ $a = 15$ Найдём второе число: $15 + b = 18$ $b = 3$ Проверим остальные варианты разности, чтобы доказать, что их нет: 1. Если разность $d = 11$, то $2a = 18 + 11 = 29$, $a = 14,5$ (не натуральное). 2. Если разность $d = 13$, то $2a = 18 + 13 = 31$, $a = 15,5$ (не натуральное). **Допущение:** В некоторых школьных программах разность может рассматриваться без учёта порядка (модуль разности). Если допустить, что Миша мог назвать числа в любом порядке, то пары чисел остаются теми же: $(15; 3)$ и $(14; 4)$ — если рассматривать разность как $10$ или $14$ невключительно. Однако, если границы $10$ и $14$ не строгие (хотя в тексте «меньше 14, но больше 10» обычно означает строгое неравенство), могли бы подойти и другие пары. При строгом неравенстве и условии чётности решение единственное: **15 и 3**. Если же допустить, что фраза «меньше 14, но больше 10» позволяет разности быть $11$ или $13$, но мы ищем любые натуральные $a$ и $b$, то подходящих пар нет, кроме случая с чётной разностью.