Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором: а) cos 15; б) cos 75; в) cos 105.

**9.1 Запишите формулу:** а) $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$ б) $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$ **9.2 Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором:** а) **Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$** Решение: $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ б) **Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$** Решение: $\cos 75^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ в) **Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$** Решение: $\cos 105^{\circ} = \cos(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ **9.3 Вычислите:** а) **Ответ: 0** Решение: Используем формулу косинуса суммы $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha - \beta)$: $\cos\frac{3\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{8} \sin\frac{\pi}{8} = \cos\left(\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{2\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ *Допущение: в условии опечатка в знаке или функции, так как типичные задачи этого вида сводятся к табличным значениям. Если решать строго по фото (косинус разности):* $\cos\left(\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Если там $\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha + \beta)$, то $\cos\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. б) **Ответ: $\frac{1}{2}$** Решение: Используем формулу синуса суммы $\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin(\alpha + \beta)$: $\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ} + \cos 70^{\circ} \cos 10^{\circ} = \cos(70^{\circ} - 10^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$