Задание 17. При каких значениях a уравнение x^2 + ax - a + 2 = 0 имеет два различных корня и сумма квадратов этих корней равна 4? Задание 18. В конечной последовательности, состоящей из натуральных чисел, больше одного числа. Каждый следующий член этой последовательности отличается от предыдущего либо на 18, либо в 13 раз. Сумма всех членов последовательности равна 123. Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

Задание 17 **Ответ: -2** Уравнение $x^2 + ax - a + 2 = 0$ имеет два различных корня, если его дискриминант $D > 0$: $$D = a^2 - 4(2 - a) = a^2 + 4a - 8 > 0$$ По теореме Виета для корней $x_1$ и $x_2$: $$x_1 + x_2 = -a$$ $$x_1 \cdot x_2 = 2 - a$$ Сумма квадратов корней по условию равна 4: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4$$ $$(-a)^2 - 2(2 - a) = 4$$ $$a^2 - 4 + 2a = 4$$ $$a^2 + 2a - 8 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $a$: $$D_a = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$a_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad a_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$ Проверим условие $D > 0$ для найденных значений: 1. При $a = 2$: $2^2 + 4(2) - 8 = 4 > 0$ (подходит) 2. При $a = -4$: $(-4)^2 + 4(-4) - 8 = -8 < 0$ (не подходит) Однако, в условии задачи в уравнении стоит $-a+2$, что может трактоваться как $-(a-2)$. Если в уравнении $x^2 + ax + (-a + 2) = 0$, то решение выше верно. Если же уравнение $x^2 + ax - a + 2 = 0$, то при $a = -2$: $$(-2)^2 + 2(-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$$ (дискриминант отрицательный). Перепроверим уравнение: $x^2 + ax - a + 2 = 0$. При $a = -2$: $x^2 - 2x + 4 = 0$ (корней нет). При $a = 2$: $x^2 + 2x = 0$, корни $0$ и $-2$, сумма квадратов $0^2 + (-2)^2 = 4$. Дискриминант $2^2 - 4(0) = 4 > 0$. **Ответ: 2** Задание 18 **Ответ: 5** Пусть последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$. Сумма $S_n = 123$. Нужно минимизировать $n$. Чтобы количество членов было минимальным, сами числа должны быть как можно больше. Если $n=2$: $a_1 + a_2 = 123$. Разница 18 или кратность 13. 1) $a_2 = a_1 + 18 \Rightarrow 2a_1 + 18 = 123 \Rightarrow 2a_1 = 105$ (нет целых). 2) $a_2 = 13a_1 \Rightarrow 14a_1 = 123$ (нет целых). Если $n=3$: 1) $a, a+18, a+36 \Rightarrow 3a + 54 = 123 \Rightarrow 3a = 69 \Rightarrow a=23$. Последовательность: 23, 41, 59. Проверка: $23+41+59 = 123$. Но есть условие про "в 13 раз". Проверим другие комбинации. Наименьшее число членов достигается при использовании умножения. Если $a_1 = 1$, $a_2 = 13$, $a_3 = 13+18=31$, $a_4 = 31+18=49$, $a_5 = 49+18=67$. Сумма слишком велика. Подбором находим: $a_1=3, a_2=39, a_3=21, a_4=39, a_5=21$. Сумма $3+39+21+39+21 = 123$. Здесь $39 = 3 \cdot 13$, $21 = 39 - 18$, $39 = 21 + 18$, $21 = 39 - 18$. Все условия соблюдены.