На доске написано трёхзначное число. Если в этом числе стереть цифру сотен, то получится двузначное число, которое в 9 раз меньше исходного. Какое число было написано на доске? Найдите все возможные варианты.

**Ответ: 112, 225, 337, 450** Пусть исходное трёхзначное число равно $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, где $a$ — цифра сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $\overline{bc} = 10b + c$ — двузначное число, полученное после стирания цифры сотен. По условию задачи исходное число в 9 раз больше полученного: $$100a + 10b + c = 9 \cdot (10b + c)$$ Раскроем скобки и упростим уравнение: $$100a + 10b + c = 90b + 9c$$ $$100a = 80b + 8c$$ $$100a = 8(10b + c)$$ $$100a = 8 \cdot \overline{bc}$$ Разделим обе части на 4: $$25a = 2 \cdot \overline{bc}$$ Так как 25 не делится на 2, то цифра $a$ должна быть чётной ($a = 2, 4, 6, 8$). Также из уравнения видно, что двузначное число $\overline{bc}$ должно быть кратно 25. Рассмотрим возможные значения $a$: 1. Если $a = 1$: $25 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 12,5$ (не подходит, число должно быть целым). 2. Если $a = 2$: $50 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 25$. Число: **225**. 3. Если $a = 3$: $75 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 37,5$ (не подходит). 4. Если $a = 4$: $100 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 50$. Число: **450**. 5. Если $a = 5$: $125 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 62,5$ (не подходит). 6. Если $a = 6$: $150 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 75$. Число: **675**. 7. Если $a = 7$: $175 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 87,5$ (не подходит). 8. Если $a = 8$: $200 = 2 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 100$ (не подходит, так как $\overline{bc}$ должно быть двузначным). **Допущение:** В условии сказано, что получается двузначное число. Если допустить, что первая цифра нового числа может быть нулём (например, из 112 получается 12, а из 108 — 08, что обычно не считается стандартным двузначным числом, но в таких задачах иногда встречается), проверим и другие варианты. Если $a$ — любое число от 1 до 9: - При $a=1$: $\overline{bc} = 12.5$ (нет) - При $a=2$: $\overline{bc} = 25$ (225) - При $a=3$: $\overline{bc} = 37.5$ (нет) - При $a=4$: $\overline{bc} = 50$ (450) - При $a=5$: $\overline{bc} = 62.5$ (нет) - При $a=6$: $\overline{bc} = 75$ (675) - При $a=7$: $\overline{bc} = 87.5$ (нет) - При $a=8$: $\overline{bc} = 100$ (нет) Перепроверим расчет $100a = 8 \cdot \overline{bc}$. При $a=1$, $100 = 8 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 12.5$. При $a=2$, $200 = 8 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 25$. Число 225. $225 / 25 = 9$. Верно. При $a=4$, $400 = 8 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 50$. Число 450. $450 / 50 = 9$. Верно. При $a=6$, $600 = 8 \cdot \overline{bc} \Rightarrow \overline{bc} = 75$. Число 675. $675 / 75 = 9$. Верно. Следовательно, подходящие числа: 225, 450, 675.