Во сколько раз изменилась внутренняя энергия, если давление увеличилось на 20%

1. Чтобы найти, во сколько раз изменилась внутренняя энергия, нужно знать зависимость внутренней энергии от давления. Для одноатомного газа внутренняя энергия $U = \frac{3}{2} nRT$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона $pV = nRT$. Получается, что $U = \frac{3}{2} pV$. Если давление увеличилось в 3,6 раза, а объём не изменился, то внутренняя энергия тоже увеличилась в 3,6 раза. 2. Давление газа $p = \frac{2U}{3V} = \frac{2 \cdot 300 \text{ Дж}}{3 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = \frac{600}{6 \cdot 10^{-3}} \text{ Па} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 100 \text{ кПа}$. **Ответ:** 100 кПа 3. Внутренняя энергия одноатомного газа $U = \frac{3}{2} pV$. Также внутренняя энергия $U = \frac{3}{2} nRT$. Если концентрация его молекул $n'$ и объём $V$, то количество вещества $n = n'V$. Тогда $U = \frac{3}{2} n'VRT$. 4. На поршень действуют силы: сила тяжести поршня $F_m = mg$, сила атмосферного давления $F_{атм} = p_{атм}S$ и сила давления воздуха в цилиндре $F_p = pS$. Поскольку поршень находится в равновесии, то $pS = p_{атм}S + mg$. Отсюда $p = p_{атм} + \frac{mg}{S}$. Дано: $S = 1 \text{ дм}^2 = 0,01 \text{ м}^2$ $m = 10 \text{ кг}$ $p_{атм} = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}$ $g = 10 \text{ м/с}^2$ Найдём давление газа в цилиндре: $p = 10^5 \text{ Па} + \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0,01 \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + \frac{100 \text{ Н}}{0,01 \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + 10^4 \text{ Па} = 110000 \text{ Па} = 110 \text{ кПа}$. Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, определяется по формуле $A = p \Delta V$. Также $A = pS \Delta h$. Поршень поднялся на $\Delta h = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$. Работа воздуха: $A = 110 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 0,01 \text{ м}^2 \cdot 0,2 \text{ м} = 1100 \text{ Па} \cdot 0,2 \text{ м}^3 = 220 \text{ Дж}$. **Ответ:** 220 Дж 5. Работа газа при изобарном расширении определяется формулой $A = p \Delta V$. Также из уравнения Менделеева-Клапейрона $pV = nRT$. Если давление постоянно, то $p \Delta V = nR \Delta T$. Так как объем комнаты постоянный $V = 70 \text{ м}^3$ и температура изменилась, то это не изобарное расширение. Допущение: Несмотря на то, что комната имеет постоянный объём, в задаче сказано, что давление постоянное. Для расчёта работы нужно использовать формулу для изобарного процесса, а не изохорного. Возможно, имеется в виду не вся комната, а часть воздуха, который нагревается и расширяется. Иначе работа была бы равна нулю (изохорный процесс). Предположим, что воздух при постоянном давлении 100 кПа расширяется, при этом температура воздуха увеличивается с 280 К до 296 К. $A = p \Delta V$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона: $p V_1 = n R T_1$ и $p V_2 = n R T_2$. Тогда $p(V_2 - V_1) = n R (T_2 - T_1)$. $A = n R (T_2 - T_1)$. Чтобы найти $nR$, можно использовать начальные данные: $p V_1 = n R T_1$, откуда $nR = \frac{p V_1}{T_1}$. Работа $A = \frac{p V_1}{T_1} (T_2 - T_1)$. Подставим значения: $p = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}$ $V_1 = 70 \text{ м}^3$ $T_1 = 280 \text{ К}$ $T_2 = 296 \text{ К}$ $A = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 70 \text{ м}^3}{280 \text{ К}} (296 \text{ К} - 280 \text{ К}) = \frac{7000000}{280} \text{ Дж} \cdot 16 = 25000 \text{ Дж} \cdot 16 = 400000 \text{ Дж} = 400 \text{ кДж}$. **Ответ:** 400 кДж 6. При изобарном повышении температуры работа газа определяется по формуле $A = p \Delta V$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона: $p V = \nu R T$. Если давление постоянно, то $p \Delta V = \nu R \Delta T$. Следовательно, работа $A = \nu R \Delta T$. **Ответ:** $A = \nu R \Delta T$ 7. Из предыдущего пункта, работа при изобарном нагревании $A = \nu R \Delta T$. Для кислорода (O$_2$), молярная масса $M = 32 \text{ г/моль} = 0,032 \text{ кг/моль}$. Количество вещества $\nu = \frac{m}{M}$. $m = 320 \text{ г} = 0,32 \text{ кг}$ $\nu = \frac{0,32 \text{ кг}}{0,032 \text{ кг/моль}} = 10 \text{ моль}$. $\Delta T = 10 \text{ К}$. $R = 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$. Работа $A = 10 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 10 \text{ К} = 831 \text{ Дж}$. **Ответ:** 831 Дж