Точка А находится на расстоянии 9 см от плоскости α. Наклонные АВ и АС образуют с плоскостью α углы 45° и 60°, а угол между проекциями наклонных равен 150°. Найдите расстояние между точками В и С.

5. Пусть $H$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH = 9$ см. Проекция наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ — это $HB$. Угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $ABH$. Проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ — это $HC$. Угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $ACH$. Из прямоугольного треугольника $AHB$: $\angle ABH = 45^0$, значит $HB = AH / \text{tg}(45^0) = 9 / 1 = 9$ см. Из прямоугольного треугольника $AHC$: $\angle ACH = 60^0$, значит $HC = AH / \text{tg}(60^0) = 9 / \sqrt{3} = 9\sqrt{3}/3 = 3\sqrt{3}$ см. Угол между проекциями наклонных $HB$ и $HC$ равен $150^0$, то есть $\angle BHC = 150^0$. Теперь применим теорему косинусов для треугольника $BHC$, чтобы найти расстояние $BC$: $BC^2 = HB^2 + HC^2 - 2 \cdot HB \cdot HC \cdot \text{cos}(\angle BHC)$ $BC^2 = 9^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \text{cos}(150^0)$ $BC^2 = 81 + (9 \cdot 3) - 54\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2)$ $BC^2 = 81 + 27 + (54\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}/2)$ $BC^2 = 108 + (54 \cdot 3 / 2)$ $BC^2 = 108 + (162 / 2)$ $BC^2 = 108 + 81$ $BC^2 = 189$ $BC = \sqrt{189} = \sqrt{9 \cdot 21} = 3\sqrt{21}$ см. **Ответ:** $3\sqrt{21}$ см.