От пристани отплыла лодка и одновременно навстречу ей от пункта А отплыл плот. Лодка и плот встретились через 2 ч. Через 30 мин после встречи лодка прибыла в пункт А. Через какое время после встречи плот прибыл на пристань?

1. Чтобы найти скорость плота, который движется только за счёт течения реки, нужно воспользоваться тем, что плот и лодка встретились через 2 часа. Так как лодка отплыла от пристани, а плот от пункта А навстречу лодке, а затем лодка вернулась в пункт А и после этого плот прибыл на пристань. Рассмотрим движение плота: Плот проплыл расстояние от пункта А до места встречи за 2 часа. Затем плот проплыл расстояние от места встречи до пристани. Лодка после встречи вернулась в пункт А через 30 минут. Значит, расстояние от места встречи до пункта А лодка проплыла за 30 минут. Это расстояние плот проплыл за 2 часа. Скорость течения реки (скорость плота) постоянна. Обозначим её как $v_{теч}$. Расстояние от места встречи до пункта А можно выразить как: $S = v_{лодки} \cdot t_{лодки}$ (если бы лодка плыла без остановки) или $S = v_{теч} \cdot t_{плота}$ Поскольку лодка после встречи проплыла то же расстояние, что и плот до встречи за 2 часа, до пункта А за 30 минут, это значит, что это расстояние она прошла за 30 минут (0.5 часа). Плот прошел это расстояние за 2 часа. Пусть расстояние от места встречи до пункта А будет $X$. Для плота: $X = v_{теч} \cdot 2 \text{ ч}$. Для лодки: $X = v_{лодки} \cdot 0.5 \text{ ч}$ (это *неверное* рассуждение, так как скорость лодки меняется относительно берега, а скорость плота — это и есть скорость течения). Важно понимать, что плот движется со скоростью течения реки. Расстояние, которое плот прошел за 2 часа до встречи, лодка после встречи проплыла обратно до пункта А за 30 минут. Пусть скорость течения (скорость плота) будет $v_{пл}$. Пусть скорость лодки в стоячей воде будет $v_{лод}$. Расстояние, которое прошел плот до встречи: $S_{пл} = v_{пл} \cdot 2$. Расстояние, которое проплыла лодка до встречи: $S_{лод} = (v_{лод} - v_{пл}) \cdot 2$. Общее расстояние между пристанью и пунктом А: $S_{общ} = S_{пл} + S_{лод}$. После встречи лодка плыла обратно в пункт А. Её скорость относительно берега $v_{лод} + v_{пл}$. Время, за которое лодка доплыла до пункта А после встречи: $t_{лод.обр} = 30 \text{ мин} = 0.5 \text{ ч}$. Расстояние, которое лодка проплыла обратно: $S_{обр} = (v_{лод} + v_{пл}) \cdot 0.5$. Это расстояние $S_{обр}$ равно расстоянию, которое лодка проплыла от пункта А до места встречи: $S_{обр} = S_{лод}$. То есть, $(v_{лод} + v_{пл}) \cdot 0.5 = (v_{лод} - v_{пл}) \cdot 2$. Раскроем скобки: $0.5 v_{лод} + 0.5 v_{пл} = 2 v_{лод} - 2 v_{пл}$ Перенесем члены с $v_{лод}$ в одну сторону, а с $v_{пл}$ в другую: $0.5 v_{пл} + 2 v_{пл} = 2 v_{лод} - 0.5 v_{лод}$ $2.5 v_{пл} = 1.5 v_{лод}$ $v_{лод} = \frac{2.5}{1.5} v_{пл} = \frac{5}{3} v_{пл}$. Теперь нам нужно найти, какое время плот прибыл на пристань. Плот движется со скоростью течения $v_{пл}$. Плот движется от пункта А до пристани. Расстояние от пункта А до пристани равно $S_{общ}$. $S_{общ} = S_{пл} + S_{лод} = v_{пл} \cdot 2 + (v_{лод} - v_{пл}) \cdot 2$ Подставим $v_{лод} = \frac{5}{3} v_{пл}$: $S_{общ} = v_{пл} \cdot 2 + (\frac{5}{3} v_{пл} - v_{пл}) \cdot 2$ $S_{общ} = 2 v_{пл} + (\frac{5}{3} v_{пл} - \frac{3}{3} v_{пл}) \cdot 2$ $S_{общ} = 2 v_{пл} + \frac{2}{3} v_{пл} \cdot 2$ $S_{общ} = 2 v_{пл} + \frac{4}{3} v_{пл}$ $S_{общ} = (\frac{6}{3} + \frac{4}{3}) v_{пл} = \frac{10}{3} v_{пл}$. Время, за которое плот проплыл всё расстояние от пункта А до пристани: $T_{пл} = \frac{S_{общ}}{v_{пл}}$. $T_{пл} = \frac{\frac{10}{3} v_{пл}}{v_{пл}} = \frac{10}{3} \text{ часа}$. Переведем часы в часы и минуты: $\frac{10}{3} \text{ ч} = 3 \text{ ч} + \frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ ч} + 20 \text{ мин}$. Это время, за которое плот прошел путь от пункта А до пристани. Но вопрос «какое время после встречи плот прибыл на пристань?». Встреча произошла через 2 часа после отплытия лодки и плота. С момента встречи плоту осталось проплыть расстояние от места встречи до пристани. Расстояние от места встречи до пристани равно расстоянию, которое лодка проплыла до встречи $S_{лод}$. $S_{лод} = (v_{лод} - v_{пл}) \cdot 2 = (\frac{5}{3} v_{пл} - v_{пл}) \cdot 2 = \frac{2}{3} v_{пл} \cdot 2 = \frac{4}{3} v_{пл}$. Время, за которое плот проплыл расстояние $S_{лод}$: $t_{после встречи} = \frac{S_{лод}}{v_{пл}} = \frac{\frac{4}{3} v_{пл}}{v_{пл}} = \frac{4}{3} \text{ часа}$. Переведем часы в часы и минуты: $\frac{4}{3} \text{ ч} = 1 \text{ ч} + \frac{1}{3} \text{ ч} = 1 \text{ ч} + 20 \text{ мин}$. **Ответ: Плот прибыл на пристань через 1 час 20 минут после встречи.**